Üçgenin yardımcı elemanları

Üçgenin iç ve dış açıortayları

  • Üçgenin bir iç açısını iki eşit parçaya bölen ışına iç açıortay , bir dış açısını iki eşit parçaya bölen ışına ise dış açıortay denir.
    ABCDEN
    Yukarıdaki ABC üçgeninde [AN iç açıortay , [AE ise dış açıortaydır.
  • Bir açıortayın üzerindeki bir noktanın açı kollarına olan uzaklığı eşittir.
  • Bir açıortay üzerinde alınan bir noktadan açı kollarına indirilen dikmelerin açı kollarını kestiği noktaların açının köşesine olan uzaklıkları eşittir.
  • O B C D E F A
    Yukarıdaki [OD COB açısının açı ortayıdır.|FE| = |EG| ve |FO| = |OA|
  • Üçgenin iç açıortayları üçgenin iç bölgesinde kesişir.
  • Bir üçgende iki açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü 90o den diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısı kadar fazladır.
    ABCD
    Yukarıdaki D açısının ölçüsü 90 + m(BAC) :2
  • Üçgende iki dış açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü 90o den diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısı kadar eksiktir.
    ACBEFD
    Yukarıdaki D açısının ölçüsü 90 - m(BAC) :2
  • Bir üçgenin bir iç açıortay ve bir dış açıortayın oluşturğu açının ölçüsü diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısına eşittir.
    ABCDE
    Yukarıdaki E açısının ölçüsü m(BAC) :2
  • A B C D c b m n
    Yukarıdaki üçgende [AD] açıortay olmak üzere bc = mn eşitliğine iç açıortay teoremi denir.
  • A B C D c b m n
    Yukarıdaki üçgende [AD] dış açıortay olmak üzere cb = m+nn eşitliğine dış açıortay teoremi denir.

Üçgenin kenarortayları

  • Bir üçgende bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına , o kenara ait kenarortay denir.
  • İki kenarortayın kesiştiği noktada üçüncü kenarortay da geçer.
  • Kenarortaylar üçgen içinde kesişir.Kesiştikleri noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.
  • A B C D F E G
    Yukarıdaki şekilde [AF] , [DC] ve [BE] kenarortaylarıdır.Bu yüzden |AG||GF| = |BG||GE| = |CG||GD|= 2 olur.
  • Bir üçgendeki iki kenarortayın uç noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenarortay üzerinde köşeden kenara doğru 3,1 ve 2 sayılarıyla orantılı parçalar ayırır.
  • A B C D F E G K 3k k 2k
    Yukarıdaki şekilde [AF] , [DC] ve [BE] kenar ortay , [DE] iki kenarortay uç noktasını birleştiren doğru parçasıdır.Bu yüzden |AK| = 3k , |KG| = k ve |GF|= 2k olur.
  • Bir dik üçgende hipotenüse ( 90o açı köşesinin karşısındaki kenar ) ait kenar ortay hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Üçgenin kenar orta dikmeleri

  • Bir doğru parçasına orta noktasında dik olan doğruya dikme denir.
  • Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan herhangi bir nokta doğru parçası uç noktalarına eşit uzaklıktadır.
  • A B E C D d
    Yukarıdaki d doğrusu CD doğru parçasına dik , |CE| = |EC| ve A ∈ d , B ∈ d olduğundan |AC| = |AD| ve |BA| = |BD| olur.
  • Bir üçgenin orta dikmeleri bir noktada kesişir.

Üçgenin yükseklikleri

  • Bir üçgende bir köşeyi karşısındaki kenara veya kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına , o kenara ait yükseklik denir.
  • Bir üçgenin yükseklikleri veya yüksekliklerinin uzantıları bir noktada kesişir.Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
  • Diklik merkezi dar açılı üçgende üçgenin içindedir.
  • Diklik merkezi dik açılı üçgende dik köşededir.
  • Diklik merkezi geniş açılı üçgende üçgenin dışındadır..
  • İkizkenar üçgende eş olan kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları eşittir.
  • İkizkenar üçgende tabanda alınan bir noktadan eş kenarlara inilen dikmelerin uzunluklarının toplamı , eş olan kenarlara ait yüksekliğin uzunluğuna eşittir.
  • A B C D
    Yukarıdaki ABC ikizkenar üçgeninden D noktasından çizinlen dikmelerin toplam uzunluğu ile AB veya BC kenar yüksekliklerinin uzunlukları aynıdır.AB nin yüksekliği BC , BC in ise AB dir.
  • Bir eşkenar üçgenin iç bölgesinde alınan bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı eşkenar üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşittir.
Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları