8. sınıf üçgenler

Üçgende kenarortay , açıortay ve yükseklik

  • Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşı köşe ile birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
  • Üçgenin bir köşesinden diğer kenara çizilen ve üçgenin köşesindeki iç açısını iki eş açıya ayıran doğru parçasına açıortay denir.
  • Üçgendeki üç açıortay üçgenin içinde kesişir.
  • Üçgenin bir köşesinden karşı kenarına veya kenarının uzantısına çizilen dikmenin kenar veya uzantısı ile köşe arasındaki doğru parçasına yükseklik denir.
  • Eşkenar üçgende açıortay , kenarortay ve yükseklik aynı doğru paraçasıdır.
  • İkizkenar üçgende uzunluğu farklı kenara ait yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.( alttaki ikizkenar üçgen şekline bakınız)
  • Dik açılı üçgende 90o'lik açıdan çizilen kenarortayın uzunluğu karşısındaki kenar uzunluğunun yarısına eşittir.
  • Geniş açılı üçgende iki yükseklik açının dış bölgesindedir.
  • Dik üçgende 90o'lik açının bir kenarı diğer kenarına ait yüksekliktir.( alttaki dik üçgen şekline bakınız)
D [AD] açıortaydır m(BAD) = m(DAC) E [AE] kenarortaydır |BE| = |EC| F [AF] yüksekliktir m(AFC) = 90 0 D [CD] açıortaydır m(ACD) = m(DCB) E [CE] kenarortaydır |AE| = |EB| F [CF] yüksekliktir m(AFC) = 90 0 D [BD] açıortaydır m(DBA) = m(DBC) E [BE] kenarortaydır |AE| = |EC| F [BF] yüksekliktir m(BFC) = 90 0 A B C Açıortay Kenarortay Yükseklik A B C Dar açılı üçgen
A B C D [BD] yükseklik m(BDC) = 90 0 D [AD] yükseklik m(ADC) = 90 0 D [CD] yükseklik m(CDA) = 90 0 A'dan yükseklik B'den yükseklik C'den yükseklik Geniş açılı üçgen
A B C m(ABC) = m(ACB) |AB| = |AC| D m(BAD)=m(DAC) ve |BD|=|DC| m(ADC)=90 0 A'dan dikme İkizkenar üçgen
A B C Dik üçgen [AB] , [BC]'nin yüksekliğidir [BC] , [AB]'nin yüksekliğidir

Üçgenlerde katlama

  • Üçgenin bir köşesi diğer bir köşesinin üstüne katlanınca oluşan kenar üzerindeki nokta ile karşı köşesi araındaki doğru parçası o kenara ait kenarortay olur.
    Aşağıdaki şekilde B köşesi C noktasına katlanmıştır.[AE] BC kenarına ait kenarortay olur.
    AAABBBCCCEE
  • Üçgenin bir köşesi karşı kenarının veya uzantısının üzerindeki bir noktaya katlanınca oluşan katlama izi ait olduğu açının açıortayı olur.
    Aşağıdaki şekilde B köşesi AC kenarındaki Y noktasına katlanmıştır.Oluşan AD izi BC kenarına ait açıortay olmuştur.
    AAABBBCCCDDY
  • Üçgenin bir köşesi katlama izi katlanan kenara dik olan bir noktaya katlanırsa oluşan katlama izi o kenara yükseklik olur.
    Aşağıdaki şekilde B köşesi BC kenarında katlanmış ve oluşan AF izi BC kenarının yüksekliği olmuştur.
    AAABBBCCCFF

Üçgen eşitsizliği

Bir üçgenin 2 kenarının uzunluklarının toplamı,3. kenarın uzunluğundan büyük , iki kenarın farkının 3. kenardan küçük olmasına üçgen eşitsizliği adı verilir.3 kenarı uzunluklarını a , b ve c olarak sembollersek bu eşitsizliği |b-c| < a < b+c şeklinde gösterebiliriz.Örnekler

  1. örnek bir üçgenin ikikenarı 4 ve 5 cm. ise 3. kenarının olabileceği uzunluklarını hesaplamak için (5-4) < x < 5+4 eşitsiliği kurulur.İşlemler yapılınca eşitsizlik 1 < x < 9 şeklini alır.Bu eşitsizlikten üçgenin 3. kenarının 1 ve 9 hariç arasındaki sayılar olabileceği belirlenir.(Eşitsizlik çözümü için 8.sınıf eşitsizlik sayafsına bakabilirsiniz.)
  2. örnek 6 , 2 ve 3 m uzunluğundaki 3 tahta parçası ( parçalar kesilmeden , birleşim yerinden taşmadan ) ile bahçede üçgen şeklinde bir kısım yapılabilirmi? sorusunu çözebilmek için sıra ile eşitsizlikler uygulanır.( Burada birden fazla toplama çıkarma yapmanız gerekecektir.)
    İlk önce 6 ve 2 m'likleri işleme alıp 3 ile karşılaştıralım. 6+2 = 8 olduğu ve 8 ,3'ten büyük olduğundan olabilir.
    6-2 = 4 ve 4 ,3'den büyük olduğundan eşitsizlik sağlanmaz.Çünkü iki kenarın farkı 3. kenardan küçük olmalıdır.Bu yüzden diğer işlemleri yapamaya gerek kalmadan bu şekildeki tahtalardan üçgen yapılamayacağı sonucunu elde ederiz.

Üçgen kenar ve karşısındaki açılar

Bir üçgende en büyük kenar karşısındaki açı en büyüktür.Kenar uzunluklarının sıralaması ile kenarların karşısındaki açıların ölçülerinin sralaması aynıdır.

A B C

Yandaki ABC açısında kenar uzunluklarının sıralaması |BC| < |AC| < |AB| olduğundan dolayı m(A) < m(B) < m(C) olur.Yani en büyük kenar olan AB kenarının karşısında C açısı en büyük açı olur.En küçük kenar olan BC kenarının karşısıdaki A açısı ise en küçük açı olur.

Üçgen çizme

3 farklı bilgi ile üçgen çizilebilir.

1) Üç kenar uzunluğunun verilmesi.İlk önce bir kenar uzunluğuna göre çizilir.Daha sonra diğer kenar çizilen ilk kenarın bir ucunda bir açı oluşturarak çizilir.Açı oluşturmada yukarıda anlatılan kenar ve karşısındaki açı ilişkisi gözönüne alınır.3. kenarda çizilen iki kenarın uçlarında başlayıp bitebiliyorsa üçgen tamamlanmış olur.Eğer uçlarında olmuyorsa ilk iki kenar arasındaki açı değişitirilir ve tekrar 3. kenar denemesi yapılır.

2) Bir kenarı ve bu kenarıdan oluşan 2 açısının ölçüsünün verilmesi.Bu durumda bu kenar çizilir.Daha sonra verilen açı ölçülerinde açılar oluşur.Açıların diğer kenarlarının kesiştiği noktadan sonrakiler silinir ve üçgen oluşur.

3) İki kenar uzunluğu ve arasındaki açının verilmesi.Bu durumda bu kenarlar uzunluğunda çizgilerle verilen açı olacak şeklide çizilir.Daha sonra kenarların diğer uçları birleşir ve üçgen oluşur.

Pisagor bağıntısı

A B C

Bir dik üçgende dik açılı köşenin karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir.Yandaki dik üçgende hipotenüs AC kenarıdır.

Bir dik üçgende dik açıyı oluşturan üçgen kenarları dik kenarlardır.Yandaki şekilde AB ve AC kenarları dik kenarlardır.

Pisagor bağıntısı

Bir dik üçgende , dik kenarların karesinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olmasına Piasgor bağıntısı denir.a ve b dik kenar uzunluğu , c ise hipotenüs uzunluğu sembollemek üzere a2+b2=c2 şeklinde gösterilir.Örnekler

  1. örnek Bir dik açılı üçgenin dik kenarları 2 cm ve 4 cm ise hipotenüsü bulmak için 22+42 işlemi oluşturulur.Bu işlemde üslü ifadeler hesaplanınca 4+16 olur ve hipotenüsün karesi 20 bulunur.20 sayısı tamkare bir sayı değildir.20'nin karekökünü almak için 4.5 şeklinde yazıp 4'ün karekökü 2 olduğundan sayıyı katsayılı karekök olarak 25 şeklinde yazıp sonucu bulabiliriz.( Kareköklü sayılarla işlemleri tekrar için Kareköklü ifadeler sayfasına bakabilirsiniz.)
  2. örnek hipotenüsü 10 cm , bir dik kenarı 6 cm olan dik üçgenin diğer dik kenarını bulmak için
    ilk önce bilinmeyen kenaraı x ile gösterip denklemi kurarız 102 = x2+62
    üslü ifadeleri hesaplarsak denklem 100=x2+36 olur.
    denklem çözmeden hatırlancağı gibi bilinmeyen x'i tek başına bırakmak için eşitliğin iki tarafından 36 çıkarılmalıdır.( iki taraftan da aynı sayı çıkınca eşitlik değişmez.bakınız Eşitlik ve denklem )
    Eşitliğin son hali 100-36=x olur.Buradan x = 64 buluruz.64 tamkare bir sayıdır.Bu yüzden 64'ün karekökünü alırsak bilinmeyen dik kenarın 8 cm olduğunu buluruz.

Kenar uzunluklarından dik üçgeni tahmin etme

Sadece kenar uzunlukları verilen , şekli veya açıları verilmeyen bir üçgenin dik olup olmadığını anlamak için kenarların karesi alınır.En sayı , diğer ikisinin toplamına eşit ise bu üçgen dik üçgendir.Dik üçgen en büyük kenar devamlı hipotenüstür.Çünkü kenarın karşısındaki açı 90o olup bu üçgenin en büyük açısıdır.Bu yüzden büyük kenarın karesine eşitleme yapılır.Örnekler

  1. örnek kenarları 5 cm , 55 cm ve 10 cm uzunluğunda olan üçgenin dik açılı olup olmadığı tespit için
    tüm kenarların kareleri alınırsa 25 , (25.5)'den 125 ( katsayının karesi ile karekök içindeki sayı çarpılır ),100 olur.
    Burada 25 + 100 = 125 olduğundan dolayı bu üçgen dik açılı bir üçgendir.
  2. örnek kenarları 25cm , 3 cm ve 32uzunluğunda olan üçgenin dik açılı olup olmadığı tespit için
    tüm kenarların kareleri alınırsa sıra ile (4.5)'den 20 , 9 ve (9.2)'den 18 bulunur.
    9+18 ≠ 20 olduğundan dolayı bu üçgen dik açılı üçgen değildir.( ≠ işareti eşit değildir işaretidir.)

Koordinat sisteminde pisagor bağıntısı

Pisagor bağıntısı sayesinde koordinat sisteminde aynı doğrultuda olmayan ( sol sağ , yukarı aşağı ) iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılır.Örnek

y x 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 A(-1,2) B(3,-1) C

Yandaki koordinat sisteminde A ve B noktası arasındaki uzaklığı hesaplamak için AB kenarı hipotenüs olacak şekilde bir dik üçgen belirleriz.Bunu görmek için .ABC üçgeninde |AC| = 3 birim , |CB|=4 birim olduğundan hipotenüs olan AB'nin uzunluğunu bulmak için 32+42 işlemi oluşturulur.Üslü ifadeler hesaplanırsa işlem 9+16 olur.Bunun sonucuda 25 , AB'nin uzunluğun karesidir.25 tamkare sayı olduğundan dolayı |AB|=5 birim olarak bulunur.

Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları