8. sınıf cebirsel ifadeler ve özdeşlikler

Cebirsel ifadeler

En az bir bilinmeyen bulunan ifadelere cebirsel ifade denilir.Cebirsel ifadede bazı önemli kavramlar.

değişken cebirsel ifadede kullanılan x,y,k vb harflere değişken denir.
terim cebirsel ifadedeki "+" veya "-" ile ayrılan her kısım terim olarak isimlenir.
5x + 8 cebirsel ifadesinde 5x ve 8 , x.y-15 ifadesindeki x.y ve -15 birer terimdir.
sabit terim cebirsel ifadede sadece sayıdan oluşan terimlere sabit terim denir.
8x - 5 cebirsel ifadesinde sabit terim -5'dir.
katsayı cebirsel ifadede bilinmeyenin yanında bulunan işareti ile beraber sayı.
5-11x ifadesindeki x'in katsayısı -11'dir.
Sabit terimde işareti ile birlikte katsayıdır.
benzer terim değişkeni ve değişkenin kuvveti ( üssü ) aynı olan terimlerdir.
x2+2x-2+3x cebirsel ifadesinde 2x ve 3x benzer terimdir.

Cebirsel ifadeleri farklı şekilde yazma

Cebirsel ifadelerde
toplama işleminin değişme,birleşme,etkisiz eleman özellikleri ,
çarpma işleminin değişme,birleşme,toplama veya çıkarma işlemleri üzerine dağılma özellikleri uygulanabilir.
Bu şekilde cebirsel ifadeler farklı şekillerde yazılabilir.

Terimlerle toplama veya çıkarma işlemi

Sadece benzer terimler toplanabilir veya çıkarılabilir.

Sabit terim ile değişkenli terim veya aynı değişkenli ama farklı kuvveti olan terimler arasında toplama veya çıkarma yapılamaz.

Örnek olarak 3x ile 2x arasında toplama veya çıkarma olabilir.3x+2x yerine 5x , 3x-2x yerine sadece x yazılabilir.Ama

  • 3x + 2 yerine 5x , 3x-2 yerine x
  • 3x + 2x2 yerine 5xx2 veya 3x - 2x2 yerine xx2
  • 3x + 2y yerine 5xy , 3x-2y yerine xy
yazılamaz

x = x = 2

2x2 + 3x cebirsel ifadesinin modellenmesi yapılmaya çalışılmıştır.Bu toplama işleminin sonucu x cinsinden veya x2 cinsinden söyleyebilme imkanı yoktur.Şekildeki büyüklük ancak 2x2+3x şeklinde söylenebilir.

Terimlerle çarpma

Çarpma işleminde iki farklı durum vardır.

  1. durum tam sayı ile çarpma

    Bu durumda terimin katsayısı ile tam sayı arasında çarpma işlemi yapılır.

    2x = 2x = 22x.3 = 22x.3 =

    Yandaki 2x2.3 işlemi ile 2x.3 işlemi modellenmeye çalışılmıştır.Aynı türden üçer adet olduğunda toplam 6 tane olmaktadır.

  2. durum iki değişkenli terimi çarpma

    Bu durumda katsayılar çarpılır,aynı değişkenlerin kuvvetleri toplanır , farklı değişkenler çarpım olarak yazılır.

    3x.2x işlemi sonucu 6x2 olur

    2x2.5x işlemi sonucu 10x3 olur.

    3x.4y işlemi sonucu 12xy olur

    2xy.3yx2 işlemi sonucu 6x3y2 olur.

Cebirsel ifadelerin çarpımı

Cebirsel ifadeleri çarpmada,çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği kullanılır.Burada iki durum vardır.

  1. tek terimli cebirsel ifade ile başka bir cebirsel ifadeyi çarpma.

    Bu durumda tek terimli cebirsel ifade diğer cebirsel ifadenin tüm terimleri ile ( sabit terim dahil ) ayrı ayrı çarpılır.Örnek olarak x.(2x+5) işlemi aşamaları;

    1. aşama:(x.2x)+(x.5)
    2. aşama:2x2+5x

    2.örnek olarak 2y.(8y-5) işlemi aşamaları

    1. aşama:(2y.8y)+(2y.5)
    2. aşama:16y2-10y
  2. durum birden fazla terimli cebirsel ifadeleri çarpma

    Bu durumda bir cebirsel ifadedeki her bir terim , diğer cebirsel ifadedeki her bir terimle ayrı ayrı çarpılır.Örnek olarak (x+3).(x+2) cebirsel ifadelerinim çarpma aşamaları;

    1. aşama : [x.(x+2)] + [3.(x+2)]
    2. aşama : x2+2x+3x+6
    3. aşama : x2+5x+6

    2. örnek olarak (2x+5).(3x-2) işlemi aşamaları;

    1. aşama:[2x.(3x-2)]- [5.(3x-2)]
    2. aşama:[6x2-4x]-[15x-10]
    3. aşama:6x2-4x-15x+10 Önemli not
    4. Bu aşamada 2.aşamadan farklı olarak 15x'in işaretinin -,10'nun işaretinin + olduğuna dikkat edin.Çünkü 2.aşamada köşeli parantez önünde -1 işareti vardı.-1 ile parantez içindeki 2 terim çarpıldı.
    5. aşama:6x2-19x+10

Cebirsel ifadelerin çarpımının modellenmesi

x x x2 1 x x (2x+1).(x) veya 2x2+x x 2x+1
x x x2 1 x x (x-1).(x) veya x2-x x x-1

Özdeşlikler

Değişkenin aldığı her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.8.sınıfta bilinmesi gereken 3 çeşit özdeşlik vardır.

  1. özdeşlik:İki terimin toplamının karesi
    (x+y)2 = x2+2xy+y2
  2. özdeşlik:İki terimin farkının karesi
    (x-y)2 = x2-2xy+y2
  3. özdeşlik:İki terimin karesinin farkı
    x2-y2 = (x-y)(x+y)

1. özdeşliğin sağlaması yapabilmek için (x+y)2 ifadesi (x+y)(x+y) şekline dönüştürülür.Bundan sonra yukarıdaki birden fazla terimli cebirsel ifadeleri çarpma kısmında anlatıldığı gibi çarpma işlemi yapılırsa 1.özdeşliğin sağında yazılı olan x2+2xy+y2 sonuca ulaşılır.

3. özdeşliğin sağlaması yapabilmek için sağdaki (x-y)(x+y) çarpma işlemi birden fazla terimli cebirsel ifadeleri çarpma kısmında anlatıldığı gibi yapılırsa 3.özdeşliğin solunda yazılı olan x2-y2 sonuca ulaşılır.

Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırma

Bir cebirsel ifadenin terimlerinin çarpanlarından ortak olanlarının parantez dışına çarpan olarak yazılıp,ortak olmayanların parantez içine yazılımasına ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma denir.Örnekler

  1. örnek:3x+6 cebirsel ifadesinde ilk terim 3.x , 2. terim ise 2.3 şeklinde çarpanlara ayrılır.
    İki terimin çarpanlarında 3 ortak olduğundan 3.(x+2) şeklinde çarpanlara ayırma işlemi yapılabilir.
  2. x2y+2x cebirsel ifadesinde ilk terim x.x.y , 2. terim ise 2.x şeklinde çarpanlara ayrılır.
    İki terimin çarpanlarında x ortak olduğundan x.(xy+2) şeklinde çarpanlara ayırma işlemi yapılabilir.

Çarpanlara ayırmada özdeşliklerden yararlanabilinir.

  1. Üç terimli bir cebirsel ifadede 1. ve 3. terimlerin kareköklerinin 2 katı ortadaki terime eşitse iki terimin toplamının karesi özdeşliğinden yararlanabilirsiniz.Örnekler
    1. örnek:x2+6x+9 cebirsel ifadesi (x+3)2 şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
    2. örnek:4a2+16ab+16b2 cebirsel ifadesi (2a+4b)2 şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
  2. Üç terimli bir cebirsel ifadede 1. ve 3. terimlerin kareköklerinin -2 katı ortadaki terime eşitse iki terimin farkının karesi özdeşliğinden yararlanabilirsiniz.Örnekler
    1. örnek:x2-8x+16 cebirsel ifadesi (x-4)2 şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
    2. örnek:9a2-12ab+4b2 cebirsel ifadesi (3a-2b)2 şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
  3. İki kare farkı şeklindeki bir cebirsel ifadeyi çarpanlara ayırmak için iki terimin karesinin farkı özdeşliğinden yararlanabilirsiniz.Örnekler
    1. örnek:4x2-16 cebirsel ifadesi (2x-4)(2x+4) şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
    2. örnek:25x2-9y4 cebirsel ifadesi (5x-3y2)(5x+3y2) şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları