8. sınıf kareköklü ifadeler

Kareköke giriş

Karekökün sembolü √ işaretidir.Bu işaretin içinde bulunan sayının karekökünün alınması gerektiğini ifade eder.

Karekök alma bir sayının karesinin almanın tersidir.Yani sayının , hangi sayının kendisi ile çarpımından oluştuğunu tespit etmektir.Karekök almak için deneme yanılma yöntemi kullanılabilinir.Karekökü alınacak sayı 2'den başlıyarak bölünür. Bölüm ile bölen aynı olduğu ve kalan sıfır olduğu zaman bu sayı , bölünen sayının karekökü olur.Örnek

25 sayısının karekökünü almak için

  • 25÷2 işlemi ile 12,5 bulunur.Bölen ve bölüm eşit olmadığından devam edilir.
  • 25÷3 işlemi ile 8,3 bulunur.Bölen ve bölüm eşit olmadığından devam edilir.
  • 25÷4 işlemi ile 6,25 bulunur.Bölen ve bölüm eşit olmadığından devam edilir.
  • 25÷5 işlemi ile 5 bulunur.Bölen ve bölüm eşit olduğunda bölme işlemi biter.
Sonuçta 25'in karekökünün ( 25 ) 5 olduğu bulunur.

Karekökü tam sayı olan sayılara tamkare pozitif tam sayılar denir.

Karekökü anlamada karenin alan ve kenar arasındaki ilişkisinden yararlanılabilinir.

Karenin kenar uzunluğu Karenin alanı
1 1
2 4
3 9
4 16

Tablodaki alan kısmındaki sayılar tamkare pozitif tam sayılardır.Bunların kareköküde tablodaki kenar uzunluğu kısmındaki sayılardır.

Tamkare olmayan kareköklü sayının hangi iki doğal sayı arasında bulunduğunu hesaplama

Tamkare olmayan bir sayının karekökünü hesaplamada küplerden yararlanılabilinir.17 yapılması gerekenler 17 birim kare ile yapılabilecek en büyük kare ve kenarı bir birim büyük kare olmak üzere iki kare yapılır.

16 < 17 < 25 16 < 17 < 25 4 < 17 < 5

Yandaki şekilde görüleceği gibi 17 sayısı tamkare olan 16 ile 25 sayıları arasındadır.Burada 25 olması için 8 birim kare daha gerekeceği için 17'in karekökü 4'e daha yakındır.Bunu deneme yanılma yöntemi ilede şu şekilde bulabiliriz

  • 17÷2 = 8,5
  • 17÷3 = 5,6
  • 17÷4 = 4,25 .Bu işlemde bölen ile bölümün tam kısmı aynıdır.Bu 17'nin karekökünün 4'e yakın olduğu anlamındadır.Bunda sonrada bir adım devam edilir.
  • 17÷5 = 3,4 .Artık bölüm bölenden küçük olmuştur.Bu noktadan sonra devam edersek bölümler bölenden daha küçük olacağından bölme işlemeleri burada biter.
Sonuçta 17'nin karekökünün 4 ile 5 arasında olduğu anlaşılır.

İrrasyonel sayılar

Eğer bir sayı iki tam sayının oranı şeklinde yazılamıyorsa bu sayı irrasyonel sayıdır.Örnekler

  1. örnek -5 sayısı -51 şeklinde yazılabileceğinden irrasyonel sayı değildir.
  2. örnek 7,2 sayısı 7210 şeklinde yazılabileceğinden irrasyonel sayı değildir.
  3. örnek 8,6 devirli sayısı 789 şeklinde yazılabileceğinden irrasyonel sayı değildir.( Devirli ondalık gösterimin rasyonel sayıya dönüşümü için Rasyonel sayılar sayfasına bakabilirsiniz.)
  4. örnek 5,0240357.... şeklinde kesir kısmı düzensiz şekilde devam eden sayı bir irrasyonel sayıdır.
  5. örnek 17 sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Tamkare olmayan kareköklü sayılar irrasyonel sayılardır.

Gerçek sayılar

Tam sayılar , rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların hepsinin oluşturduğu kümeye gerçek sayılar kümesi , bu kümedeki sayılara da geçek sayılar denilir.Bu tanımdan her doğal sayı , tam sayı , rasyonel sayı ve irrasyonel sayının aynı zaman bir gerçek sayı olduğu sonucu doğar.

Tamkare olmayan sayıların karekökleri irrasyonel olduğundan dolayı , bu sayılarda gerçek sayılardır.

π sayısı (pi sayısı) 22'nin 7'e bölümünün sonucudur.Bu sayı 3,14285714.. şeklinde kesir kısmı devretmeyen şekilde düzensiz devam ettiğinden dolayı pi sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Katsayılı karekök

Bir kareköklü sayının karekök işaretinin dışındaki sayı ab şeklinde olabilir.Buradaki a sayısı kareköklü ifadenin katsayısıdır.

Katsayıyı karekök içine alma

Katsayılı bir kareköklü ifadede katsayının karesi alınıp karekök içine çarpan olarak alınır.Örnekler

  1. örnek 32 ifadesindeki katsayı olan 3'ü karekök içine almak için 3.3 işlemi 9 bulunur.Bu sayı karekök içine 2.9 şeklinde yazılır.karekök içindeki çarpma işlemi yapılır ve ifade 18 şeklini alır.
  2. örnek 75 ifadesindeki katsayı olan 7'yi karekök içine almak için 7.7 işlemi 49 bulunur.Bu sayı karekök içine 5.49 şeklinde yazılır.karekök içindeki çarpma işlemi yapılır ve ifade 245 şeklini alır.

Kareköklü ifadeyi katsayılı yapma

Yukarıda anlatılan işlemin tersi olarak karekök içindeki sayının en büyük tamkare sayı çarpanı varsa bu çarpanlarına ayrılır.En büyük tamkare sayı olan çarpanın karekökü hesaplanarak katsayı olur.Örnekler

  1. örnek 45 şeklindeki ifadede 45 sayısının tamkare çarpanı 9'dur.Bu ifade 9.5 şeklinde çarpanlara ayrılır.9 sayısının karekökü alınıp karekök işareti dışına yazılır.İfadenin son hali 35 şeklinde olacaktır.
  2. örnek 72 şeklindeki ifadede 72 sayısının tamkare çarpanları 4 , 9 ve 36'dır.Bunlar arasında en büyük olan 36 olduğundan ifade 36.2 şeklinde çarpanlara ayrılır.36 sayısının karekökü alınıp karekök işareti dışına yazılır.İfadenin son hali 62 şeklinde olacaktır.

Karekökle çarpma bölme

Kareköklü ifadelerle çarpma bölme yaparken katsayılar ve karekök içindeki sayılar kendi aralarında işlem alınır.Yani katsayılar çarpılır veya bölünür , karekök içindekiler çarpılır veya bölünür.Örnekler

  1. örnek 5.6 çarpma işleminde katsayı yoktur.Bu yüzden sadece karekök içindeki sayılar tek bir karekök içinde çarpma şeklinde yazılır.
    5.6=5.6Daha sonra karekök içindeki çarpma işlemi yapılır cevap 30 olarak bulunur.
  2. örnek 37.23 çarpma işleminde tek bir karekök için işlemdeki karekök içindeki sayılar çarpım işlemi , katsayılarda tek karekök işaretinin katsayısı olarak çarpım şeklinde yazılır.
    37.23=(3.2)7.3 İşlemin bu halinde çarpma işlemleri yapıldığında sonuç 621 olarak bulunur.
  3. örnek 217 şeklindeki bölme işleminde kareköklerin katsayıları yoktur.Bu yüzden sadece karekök içindeki sayılar tek karekök içinde yazılırlar.
    217 Daha sonra karekök içindeki bölme işlemi yapılır cevap 3 olarak bulunur.
  4. örnek 81862 şeklindeki bölme işleminde karekök içindeki sayılar tek karekök içinde yazılırlar.Kareköklerin katsayıları bu tek karekökün dışına yazılır.
    81862Daha sonra karekök içindeki ve katsaılardaki bölme işlemleri yapılır cevap 4 3 olarak bulunur.

Karekökle toplama çıkarma

Kareköklü ifadelerle toplama çıkarma yapabilmek için karekök içindeki sayıların aynı olması gereklidir.Eğer aynı ise kareköklerin katsayıları toplanır veya çıkarılır ve karekök olduğu gibi yazılır.Örnekler

  1. örnek 85 - 2 5 işlemi sonucunu bulmak için işlem (8-2)5 şekline dönüştürülür.Burada parantez içindeki çıkarma işlemi yapılır ve cevap 65 olarak bulunur.
  2. örnek 7 + 2 7 işlemi sonucunu bulmak için işlem (1+2)7 şekline dönüştürülür.(İlk toplananda katsayı gözükmemektedir çünkü katsayısı 1 çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.Bu yüzden yazılmaz).Burada parantez içindeki toplama işlemi yapılır ve cevap 37 olarak bulunur.

Karekökle çarpıldığında doğal sayı olan çarpanlar

İki kareköklü ifade çarpıldığında çarpım sonucu doğal sayı olabilir.Çünkü karekök içindeki sayıların çarpım sonucu tamkare sayılar olursa bu sayılar kareköksüz olarak ifade edilebilir.Örnekler

  1. örnek 2. 50 işleminin sonucu 100'dür.Bu ifadede 10 doğal sayısına eşittir.
  2. örnek 3. 27 işleminin sonucu 91'dür.Bu ifadede 9 doğal sayısına eşittir.

Ondalık gösterimlerin karekökünü belirleme

Karekök içinde ondalık gösterimlilerin kareköklerini belirme için ondalık gösterimler kesirli sayı şeklinde yazılmalıdır.Bundan sonra pay veya paydada tamkare sayı varsa onların karekökleri belirlenir.Örnekler

  1. örnek 0,04 şeklindeki ondalık gösterim 4100 şeklinde kesirli sayıya dönüşebilir.Burada pay ve paydadaki sayılar tamkare sayılardadır bunların karekökleri 2 ve 10 olduğundan ifade 210 şekline dönüşür ve buda 2 ile sadeleşirse 15 olur.
  2. örnek 1,44 şeklindeki ondalık gösterim 144100 şeklinde kesirli sayıya dönüşebilir.Burada pay ve paydadaki sayılar tamkare sayılardadır bunların karekökleri 12 ve 10 olduğundan ifade 1210 şekline dönüşür ve buda 2 ile sadeleşirse 65 olur.
Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları