9. sınıf kümeler

Kümelerle ilgili temel kavramlar

  • İyi tanımlanmış farklı nesneler topluluğuna küme denir.
  • Kümeler büyük harfle gösterilir.
  • Küme elemanları ise küçük harfle gösterilir.
  • a A kümesinin elamanı ise a ∈ A şeklinde gösterilir ve a elemanıdır A diye okunur.
  • b A kümesinin elamanı değilse ise b ∉ A şeklinde gösterilir ve b elemanı değildir A diye okunur.
  • Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

Küme gösterim şekilleri

  • Kümeyi oluşturan elemanların önlerine nokta konularak kapalı bir şekil içinde gösterimine Venn şeması yöntemi denir.
    AHMETB
  • Kümeyi oluşturan elemanların {} biçimindeki parantezin içerisine virgül konarak yazılmasına liste yöntemi denir.B = { A ,H , M , E , T }
  • Kümeyi oluşturan elemanların ortak özelliklerinin belirtilmesi şeklindeki gösterimine ortak özellik yöntemi denir.
    {x|x lerin ortak özelliği} şeklinde yazılır.Kullanılan "|" veya ":" sembolü öyle ki anlamına gelir.
    Eleman sayısının çok olduğu durumlarda tercih edilir.
    B = { x | x , AHMET kelimesini oluşturan harfler }

Bir kümede elemanların yazılış sırası önemli değildir.

Küme çeşitleri

  • Üzerinde işlem yapılan tüm kümelere ait elemanları bulunduran kümeye evrensel küme denir.Evrensel küme E ile gösterilir.
    A = {2,4,6} , B={1,3,5} ise E = {1,2,3,4,5,6} olur.
  • Elemanı olmayan ( eleman sayısı sıfır olan ) kümeye boş küme denir.Boş küme veya {} şeklinde gösterilir.
    A = {∅} veya A = {{}} kümeleri boş küme değildir.A kümesi boş kümeden oluşmakatadır.Eleman sayısı birdir.
  • Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.
  • Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz küme denir.

Alt küme

A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesininde bir elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.Aşağıdaki gibi gösterilir.

  • A ⊂ B veya A ⊆ B
  • B ⊃ A veya B ⊇ A
Alt küme işaretin kapalı kısmında olduğuna dikkat edelim.
BA

Eğer A kümesinin en az bir elemanı B kümesinin elemanı değilse A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir.A ⊈ B şeklinde gösterilir.

  1. Boş küme her kümenin alt kümesidir.Bir A kümesi için ∅ ⊂ A
  2. Her küme evrensel kümenin alt kümesidir.Bir A kümesi için A ⊂ E
  3. Her küme kendisinin alt kümesidir.Bir A kümesi için A ⊂ A
  4. Herhangi A,B,C kümesi için A kümesi B kümesinin , B kümesi C kümesinin alt kümesi se A kümesi de C kümesinin alt kümesidir.A ⊂ B , B ⊂ C ise A ⊂ C olur.
    CBA

Bir A kümesinin s(A) = n ise ( eleman sayısı n) kümenin alt küme sayısı 2n olur.

Eşit küme

  • Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit küme denir.A ve B eşit kümeler ise A = B şeklinde gösterilir.
  • A ve B eşit kümeler değilse A ≠ B şeklinde gösterilir.
  • A ve B kümeleri eşit ise A ⊂ B ve B ⊂ A olur.
  • A ⊂ B ve B ⊂ A ise A = B olur.

Kümelerde işlemler

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemi

A ve B kümelerinin tüm elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin birleşim kümesi denir.A ∪ B şeklinde gösterilir.
A ∪ B = {x|x ∈ A veya x ∈ B} olur.
AB


A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi denir.A ∩ B şeklinde gösterilir.
A ∩ B = {x|x ∈ A ve x ∈ B} olur.
AB


A,B ⊂ E kümelerin A ∩ B = ∅ ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.Yani A ve B kümelerinin ortak elemanı yoksa bu iki küme ayrık kümedir.

AB


Özellikler
  1. Tek kuvvet özelliği
    A ∪ A = A
    A ∩ A = A
  2. Değişme özelliği
    A ∪ B = B ∪ A
    A ∩ B = B ∩ A
  3. Birleşme özelliği
    A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪ C
    A ∩ (B ∩ C) =(A ∩ B) ∩ A
  4. Yutan eleman özelliği
    A ∩ ∅ = ∅
  5. Birim eleman özelliği
    A ∪ ∅ = A
  6. Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği
    A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
  7. Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği
    A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

İki kümenin birleşiminin eleman sayılarını bulma
  • B ⊂ A ( B A'nın alt kümesi ) ise s(A ∪ B) = s(A)
  • A ∩ B = ∅ ( ayrık küme ) ise s(A ∪ B) = s(A) + s(B)
  • A ∩ B ≠ ∅ ( ayrık küme değil , ortak eleman var ) ise s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
  • A,B,C ⊂ E olmak üzere
    s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A ∩ B)- s(A ∩ C)- s(B ∩ C)- s(A ∩ B ∩ C)

Kümelerde fark işlemi

A,B ⊂ E olmak üzere

  • A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve A-B veta A\B şeklinde gösterilir.
  • B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların kümesine B fark A kümesi denir ve B-A veta B\A şeklinde gösterilir.
  • A-B={x| x∈A ve x∉B}
  • B-A={x| x∈B ve x∉A}
  • s(A ∪ B) = s(A-B) + s(B-A) + s(A ∩ B)
ABB-AA∩BA-B

Kümelerde tümleme işlemi

A⊂E olmak üzere A kümesinde olmayıp E (evrensel) kümesinde olan elemanların kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve Aı şeklinde gösterilir.
Aı = {x| x ∉ A ve x ∈ E } olur.
Her A⊂E için s(E) = s(A) + s(Aı) olur.
EA Aı

Kümelerde fark ve tümleme işleminin özellikleri

  • A,B ⊂ C olsun.
  • (Aı)ı=A
  • Eı = ∅
  • ı = E
  • A ∩ Aı = ∅
  • A ∪ Aı = E
  • A - B = A ∩ Bı
  • B - A = B ∩ Aı
  • A ≠ B olmak üzere A - B ≠ B - A
  • A - A = ∅
  • A - ∅ = A
  • ∅ - A = ∅
  • A - E = ∅
  • E - A = Aı

A,B ⊂ E olmak üzere aşağıdaki iki eşitliğe De Morgan kuralları denir.

  • (A ∪ B)ı = Aı ∩ Bı
  • (A ∩ B)ı = Aı ∪ Bı

Küme işlemleri ile sembolik mantık kuralları arası ilişki

Küme sembolü E Tümleyen(ı) =
Mantık sembolü 0 1 V Değili(ı)

Küme işlemleri Sembolik mantık işlemleri
A ∪ Aı = E p V pı≡ 1
A ∩ Aı = ∅ p ∧ pı≡ 0
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) p ∧ (q V r) ≡ (p ∧ q ) V (p ∧ r )
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) p V (q ∧ r) ≡ (p V q ) ∧ (p V r )
(A ∩ B)ı = Aı ∪ Bı (p ∧ p)ı≡ pı V qı
(A ∪ B)ı = Aı ∩ Bı (p v p)ı≡ pı ∧ qı

Küme problemleri

Küme problemlerini yukarıdaki küme işlemleri dışında Ven şeması haline getirerek de çözebilirsiniz.

E M T p r s d
Yukarıda Venn şeması bir okuldaki öğrencileri temsil etmektedir.Küçük harflar bulunduğu bölgenin eleman sayısını gösterir.M matematik kursuna giden , T ise Türkçe kursuna giden öğrenci kümesidir.

  • Yalnız bir kursa giden öğrenci sayısı p + s
  • En az bir kursa giden öğrenci sayısı p + r + s
  • İki kursa giden öğrenci sayısı r
  • İki kursa da gitmeyen öğrenci sayısı d
  • Matematik kursuna gitmeyen öğrenci sayısı s + d
  • Türkçe kursuna gitmeyen öğrenci sayısı p + d

İki kümenin kartezyen çarpımı

Sıralı ikili

  • Boş kümeden farklı A ve B kümelerinde , A kümesinden alınan bir a elemanı ile B kümesinden alınan bir b elemanı kullanılarak ve sıra ile elde edilen (a,b) şeklindeki yeni ifadeye sıralı ikili denir.
  • (a,b) sıralı ikilisinde a birinci bileşen , b ikinci bileşendir.
  • a ≠ b için (a,b) ≠ (b,a)
  • Sıralı ikililer birbirine eşit ise birinci bileşenler birbirine , ikinci bileşenlerde birbirine eşit olmalıdır.
    (a,b) = (c,d) ise a = c ve b = d olur.

Kartezyen çarpım

  • Boş kümeden farklı A ve B kümelerinde ,birinci bileşeni A kümesinden , ikinci bileşeni de B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen B kümesi denir.A x B şeklinde gösterilir.
  • A x B = { (a,b) | a ∈ A , b ∈ B} olur.
  • Sıralı ikilide bileşenleri yeri değiştiğinde farklı sıralı ikili oluşacağından A ≠ B ise A x B ≠ B x A dır.
  • s(A) = m ve s(B) = n ise s(A x B) = m . n
Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları