Bölünebilme kuralları
Tam sayılarda bölünebilme kuralları
A,B,C,K birer doğal sayı , B ≠ 0 olmak üzere ;
bölme işlemi yukarıdaki gibi gösterilir.
- Buradan A = B . C + K eşitliği yazılabilir.
- 0 ≤ K < B olur.
- K = 0 ise A sayısı B sayısına kalansız bölünebilir.
- K < C ise bölen ile bölüm yer değiştirirse kalan değişmez.
-
2 ile bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan doğal sayılar 2 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 2 ile bölümünden kalan , o sayının birler basamağındaki rakamın 2 ile bölümünden kalana eşittir. -
3 ile bölünebilme
Rakamları toplamı 3 ün katı olan doğal sayılar 3 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalan , o sayının rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. -
4 ile bölünebilme
Bir doğal sayının son iki basamağını oluşturan sayı 4 ile bölünebiliyorsa sayı 4 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan , o sayının son iki basamağındaki sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.
Son iki basamağı 00 olan doğal sayılarda 4 ile bölünür. -
5 ile bölünebilme
Birler basamağında 0 veya 5 olan doğal sayılar 5 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalan , o sayının birler basamağının 5 ile bölümünden kalana eşittir. -
8 ile bölünebilme
Bir doğal sayının son üç basamağını oluşturan sayı 8 ile bölünebiliyorsa sayı 8 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan , o sayının son üç basamağındaki sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
Son iki basamağı 000 olan doğal sayılarda 8 ile bölünür. -
9 ile bölünebilme
Rakamları toplamı 9 un katı olan doğal sayılar 9 ile bölünebilir.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan , o sayının rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. -
10 ile bölünebilme
Birler basamağında 0 olan doğal sayılar 10 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 10 ile bölümünden kalan , o sayının birler basamağındaki rakama eşittir. -
11 ile bölünebilme
Bir doğal sayının rakamları sağdan sola doğru +,-,+,... şeklinde işaretlenir.+ ların toplamı - lerin toplamında çıkarılır.İşlem sonucu 11 in katı ise verilen sayı 11 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 11 ile bölümünden kalan , + ların toplamıdan - lerin toplamının çıkarılması ile bulunan sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir.
(a + c + e) - (b + d) = 11k (k ∈ Z) ise abcde sayısı 11 ile bölünür.
Aralarında asal olan sayıların çarpımına bölünebilme
a,b ∈ N+ olmak üzere a ve b nin 1 den başka ortak pozitif böleni yoksa a ve b ye aralarında asal sayılar denir.
a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere a ve b ile bölünebilen doğal sayı a . b ile bölünebilir.
- 2 ve 3 ile bölünebilen sayılar 2 . 3 = 6 ile bölünebilir.
- 3 ve 4 ile bölünebilen sayılar 3 . 4 = 12 ile bölünebilir.
- 3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 3 . 5 = 15 ile bölünebilir.
Bir x tam sayısının m doğal sayısına bölümünden kalan {0,1,2,...,m-1} kümesinin elemanlarından birisidir.
EBOB
En az biri sıfırdan farklı en az iki pozitif tam sayıyı tam olarak bölebilen en büyük doğal sayıya en büyük ortak bölen (EBOB) denir.
a ve b sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) şeklinde gösterilir.
EBOB iki yolla bulunabilir.
- Sayılar ayrı ayrı asal çarpanlarına ayrılır.Ortak asal çarpanlardan en küçük üslülerin çarpımı alınır.
- Sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır.Aynı anda bölenler işaretlenir ve bunlar çarpılır.
18 = 2.32 , 24 = 23.3 ise EBOB(18,24) = 2.3 ile 6 olarak bulunur.
Aralarında asal olan iki sayının EBOB u 1 olur.
EKOK
En az iki pozitif tam sayının ortak katlarından en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) denir.
a ve b sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) şeklinde gösterilir.
EKOK bulurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır.Ortak asal çarpanların en büyük üslüleri ve ortak olmayan çarpanların çarpımı EKOK a eşittir.
18 = 2.32 , 24 = 23.3 ise EKOK(18,24) = 32 . 23 ile 72 olarak bulunur.
Aralarında asal olan a ve b sayılarının EKOK u a . b olur.
a,b ∈ N+ için a ile b nin çarpımı bu sayıların EBOB u ile EKOK unun çarpımına eşittir.
a . b = EBOB(a,b) . EKOK(a,b)
İki doğal sayının biri diğerinin katı ise bu iki doğal sayının EKOK u büyük olan sayıya , EBOB u küçük olan sayıya eşittir.