Bölünebilme kuralları

Tam sayılarda bölünebilme kuralları

A,B,C,K birer doğal sayı , B ≠ 0 olmak üzere ;
ABCK
bölme işlemi yukarıdaki gibi gösterilir.

  • Buradan A = B . C + K eşitliği yazılabilir.
  • 0 ≤ K < B olur.
  • K = 0 ise A sayısı B sayısına kalansız bölünebilir.
  • K < C ise bölen ile bölüm yer değiştirirse kalan değişmez.

  • 2 ile bölünebilme
    Birler basamağındaki rakamı çift olan doğal sayılar 2 ile bölünebilir.
    Bir doğal sayının 2 ile bölümünden kalan , o sayının birler basamağındaki rakamın 2 ile bölümünden kalana eşittir.
  • 3 ile bölünebilme
    Rakamları toplamı 3 ün katı olan doğal sayılar 3 ile bölünebilir.
    Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalan , o sayının rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
  • 4 ile bölünebilme
    Bir doğal sayının son iki basamağını oluşturan sayı 4 ile bölünebiliyorsa sayı 4 ile bölünebilir.
    Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan , o sayının son iki basamağındaki sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.
    Son iki basamağı 00 olan doğal sayılarda 4 ile bölünür.
  • 5 ile bölünebilme
    Birler basamağında 0 veya 5 olan doğal sayılar 5 ile bölünebilir.
    Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalan , o sayının birler basamağının 5 ile bölümünden kalana eşittir.
  • 8 ile bölünebilme
    Bir doğal sayının son üç basamağını oluşturan sayı 8 ile bölünebiliyorsa sayı 8 ile bölünebilir.
    Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan , o sayının son üç basamağındaki sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
    Son iki basamağı 000 olan doğal sayılarda 8 ile bölünür.
  • 9 ile bölünebilme
    Rakamları toplamı 9 un katı olan doğal sayılar 9 ile bölünebilir.
    Bir sayının 9 ile bölümünden kalan , o sayının rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
  • 10 ile bölünebilme
    Birler basamağında 0 olan doğal sayılar 10 ile bölünebilir.
    Bir doğal sayının 10 ile bölümünden kalan , o sayının birler basamağındaki rakama eşittir.
  • 11 ile bölünebilme
    Bir doğal sayının rakamları sağdan sola doğru +,-,+,... şeklinde işaretlenir.+ ların toplamı - lerin toplamında çıkarılır.İşlem sonucu 11 in katı ise verilen sayı 11 ile bölünebilir.
    Bir doğal sayının 11 ile bölümünden kalan , + ların toplamıdan - lerin toplamının çıkarılması ile bulunan sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir.
    a b c d e+ - + - + (a + c + e) - (b + d) = 11k (k ∈ Z) ise abcde sayısı 11 ile bölünür.

Aralarında asal olan sayıların çarpımına bölünebilme

a,b ∈ N+ olmak üzere a ve b nin 1 den başka ortak pozitif böleni yoksa a ve b ye aralarında asal sayılar denir.

a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere a ve b ile bölünebilen doğal sayı a . b ile bölünebilir.

  • 2 ve 3 ile bölünebilen sayılar 2 . 3 = 6 ile bölünebilir.
  • 3 ve 4 ile bölünebilen sayılar 3 . 4 = 12 ile bölünebilir.
  • 3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 3 . 5 = 15 ile bölünebilir.

Bir x tam sayısının m doğal sayısına bölümünden kalan {0,1,2,...,m-1} kümesinin elemanlarından birisidir.

EBOB

En az biri sıfırdan farklı en az iki pozitif tam sayıyı tam olarak bölebilen en büyük doğal sayıya en büyük ortak bölen (EBOB) denir.
a ve b sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) şeklinde gösterilir.

EBOB iki yolla bulunabilir.

  1. Sayılar ayrı ayrı asal çarpanlarına ayrılır.Ortak asal çarpanlardan en küçük üslülerin çarpımı alınır.
  2. Sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır.Aynı anda bölenler işaretlenir ve bunlar çarpılır.

18 = 2.32 , 24 = 23.3 ise EBOB(18,24) = 2.3 ile 6 olarak bulunur.

Aralarında asal olan iki sayının EBOB u 1 olur.

EKOK

En az iki pozitif tam sayının ortak katlarından en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) denir.
a ve b sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) şeklinde gösterilir.

EKOK bulurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır.Ortak asal çarpanların en büyük üslüleri ve ortak olmayan çarpanların çarpımı EKOK a eşittir.

18 = 2.32 , 24 = 23.3 ise EKOK(18,24) = 32 . 23 ile 72 olarak bulunur.

Aralarında asal olan a ve b sayılarının EKOK u a . b olur.

a,b ∈ N+ için a ile b nin çarpımı bu sayıların EBOB u ile EKOK unun çarpımına eşittir.
a . b = EBOB(a,b) . EKOK(a,b)

İki doğal sayının biri diğerinin katı ise bu iki doğal sayının EKOK u büyük olan sayıya , EBOB u küçük olan sayıya eşittir.

Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları