Birinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler

Gerçek sayılar kümesinde aralık kavramı

  • Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki tüm noktalara karşılık gelen gerçek sayılardan oluşan alt kümeye aralık denir.
  • Sayı doğrusundaki iki nokta ise uç nokta olarak adlanır.
  • Aralıklar uç noktaların kümeye dahil olup olmamasına göre adlanır.
  • a ve b gerçek sayı olan uç noktalar olmak üzere aralıklar (a,b) , (a,b] , [a,b) , [a,b] şeklinde gösterilir.

Aralık türleri

  1. Açık aralık
    a,b ∈ R olmak üzere {x| a < x < b , x ∈ R} kümesine karşılık gelen a ve b arasındaki tüm gerçek sayıların oluşturduğu aralığa açık aralık denir ve (a,b) şeklinde gösterilir.
    aba ve b uç noktalarının ikisi de boş
  2. Yarı açık aralık
    a,b ∈ R olmak üzere {x| a ≤ x < b , x ∈ R} veya {x| a < x ≤ b , x ∈ R} kümelerine karşılık gelen a ve b arasındaki tüm gerçek sayıların oluşturduğu aralığa yarı açık aralık denir ve [a,b) ve (a,b] şeklinde gösterilir.
    ab{x| a < x ≤ b , x ∈ R} , (a,b]( b noktası içi dolu )ab{x| a ≤ x < b , x ∈ R} , [a,b)( a noktası içi dolu )
  3. Kapalı aralık
    a,b ∈ R olmak üzere {x| a ≤ x ≤ b , x ∈ R} kümesine karşılık gelen a ve b arasındaki tüm gerçek sayıların oluşturduğu aralığa kapalı aralık denir ve [a,b] şeklinde gösterilir.
    aba ve b uç noktalarının ikisi de dolu

a ∈ R olmak üzere;
{x|a<x, x∈R}{x|a≤x, x∈R}{x|x<a, x∈R}{x|x≤a, x∈R}{x|-∞<x<∞, x∈R}

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

  • a,b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 şeklindeki denklemlere birinci dereceden denklemler denir.
  • a ve b katsayı , x ise değişken olarak adlanır.
  • Değişkenin üssü ( kuvveti ) denklemin derecesini belir.
  • ax + b = denklemini sağlayan x değişkenin değerlerine denklemin kökü , denklemin köklerinden oluşan kümeye ise çözüm kümesi denir.Çözüm kümesi ÇK olarak yazılabilir.
  • a ≠ 0 ise denklemi sağlayan yalnız bir x değeri vardır.ÇK = {- ba } olur.
  • a = 0 ve b = 0 ise 0.x + 0 = 0 olur.Hangi sayı yazılırsa yazılsın sonuç doğru olacağından çözüm kümesi tüm reel sayılar olur.ÇK = R olur.
  • a = 0 ve b ≠ 0 ise 0.x + b = 0 olur.Hangi sayı yazılırsa yazılsın sonuç yanlış olacağından çözüm kümesi boş küme olur.ÇK = Ø olur.
  • Sorularda çözüm kümesinin hangi sayı kümesinde olduğu yazılmazsa çözüm kümesi gerçek sayılar kümesinde aranır.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler

  • a,b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere
    • ax + b > 0
    • ax + b <0
    • ax + b ≤ 0
    • ax +b ≥ 0
    şeklindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.
  • Eşitsizliğin doğru olmasını sağlayan değerlerin kümesine de çözüm kümesi denir.
  • Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitsizlik değişmez.
    a,b,c ∈ R olmak üzere a < b ise
    • a + c < b + c
    • a - c < b - c
    olur.
  • Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik değişmez.
    a,b ∈ R ve c ∈ R+ olmak üzere a < b ise
    • a . c < b . c
    • ac < bc
    olur.
  • Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
    a,b ∈ R ve c ∈ R- olmak üzere a < b ise
    • a . c > b . c
    • ac > bc
    olur.
  • Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
    a < x < bc < y < da+c < x+y < b+d
  • Taraf taraf toplamada sınır noktalarının her ikisi de dahil ise toplamları da eşitsizliğe dahil olur.Diğer durumlarda dahil olmaz.
  • a ve b aynı işaretli ve sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzer a < b ise 1a > 1b

Mutlak değer içeren birinci dereceden denklem ve eşitsizlikler

  • Bir gerçek sayının sayı doğrusundaki yerinin başlangıç noktası olan sıfıra olan uzaklığına mutlak değer denir.
  • Bir x gerçek sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir.

Aşağıdaki özellikler mutlak değer içeren birinci dereceden denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümesinin bulunması kullanılmaktadır.
x,y ∈ R , n ∈ Z ve a,b ∈ R+ olmak üzere bazı özellikler;

  • |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a
  • |x| ≥ a ⇔ (x ≥ a V x ≤ -a)
  • a ≤ |x| ≤ b ⇔ (a ≤x ≤b V -b ≤ x ≤ -a)
  • |x.y| = |x|.|y|
  • x y = |x| |y| , ( y ≠ 0)
  • |x| = |-x|
  • |xn| = |x|n
  • |x+y| ≤ |x| + |y|

a,b,x ∈ R , (a ≠ 0) ve c ∈ R+ olmak üzere
|ax+b| = c ise ax + b = c veya ax + b = -c olur.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri

  • a,b,c ∈ R , a ≠ 0 , b ≠ 0 ve x ile y değişken olmak üzere ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir.
  • Denklemi sağlayan x ve y gerçek sayıları ise (x,y) sıralı ikili şeklinde yazılır ve bu sıralı ikiliye denklemin çözüm kümesinin bir elemanı denir.
  • ax + by + c = 0 denkleminin grafiği bir doğrudur.
  • Orjinden geçmeyen doğruyu çizerken seçilecek iki noktanın eksenleri kestiği noktaları seçmelisiniz.
  • Aynı değişkenleri içeren iki veya fazla birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemden oluşan ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sstemi denir.
  • a,b,c,d,e,f ∈ R , a ≠ 0 , b ≠ 0 , d ≠ 0 , e ≠ 0 olmak üzere
    ax + by + c = 0
    dx + ey + f = 0
    birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemidir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulmak için üç yöntem kullanılır.

  1. Yok etme yöntemi
    İki denklemdeki aynı değişkenin katsayılarını mutlak değerce eşit , işaretçe ters işaretli yapılır ve denklemler taraf taraf toplanarak bir değişken yok edilir.
    x + 2y = 5
    2x - y = 2
    denklem sisteminde 2. denklem 2 ile çarpılırsa y ler yok olur
    x = 5
    4x = 4
    ve 5x = 9 şekline döner.
  2. Yerine koyma yöntemi
    Bir değişken diğeri cinsinden bulunur.Bulunan bu değer diğer denklemde yerine yazılır.
    x + y = 2
    2x + y = 5
    Birinci denklemde x = 2 - y olur.Bunun ikinci denklemden x yerine yazarsak ikinci denklem 2.(2-y)+y = 5 şekline döner.
  3. Grafik çizme yöntemi
    Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler doğru belirttiğinden denklemlerin grafikleri analitik düzlemde çizilir.Doğruların kesişim noktası varsa çözüm kümesi bu noktadır.
    Aşağıda x+y=1 ve x-y=-3 denklemlerinin grafikleri vardır.İki doğru (-2,1) noktasında kesiştiğinden çözüm kümesi bu noktadır.
    xy-3-2-113-1x+y=-1x-y=-3(-2,1)

d1:ax + by + c = 0
d2:dx + ey + f = 0
denklem sisteminde;

  • a d b e ise çözüm kümesi tek elemanlıdır.Denklemin doğruları tek bir noktada kesişir.
  • a d = b e = c f ise denklem sisteminin sonsuz çözümü vardır.Denklemin doğruları çakışıktır.
  • a d = b e c f ise denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.Denklemin doğruları paraleldir.Doğrular kesişmediğinde çözüm kümesi boştur.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri

  • a,b,c ∈ R ve a ≠ 0 , b ≠ 0 olmak üzere
    • ax + by + c > 0
    • ax + by + c <0
    • ax + by + c ≤ 0
    • ax +by + c ≥ 0
    şeklindeki ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler denir.
  • Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesi (x,y) şeklinde sıralı ikililerden oluşur.
  • Eşitsizliği sağlayan sonsuz sayıda sıralı ikili olacağından çözüm kümesi analitik düzlemde boyalı (taralı) bölge olarak gösterilir.
  • Değişkenleri aynı olan en az iki birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikten oluşan ifadeye birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemi denir.
  • Eşitsizlik sistemindeki her eşitsizliği sağlayab (x,y) sıralı ikililerin kümesine eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları