Şükr kelimesi bulunan ayetler Sabr kelimesi bulunan ayetler Namaz kelimesi bulunan ayetler Zekat kelimesi bulunan ayetler Cennet kelimesi bulunan ayetler Cehennem kelimesi bulunan ayetler
Kuranı Kerim
Matematik Matematik soruları
Mehmet Açar yazılım

Karmaşık sayılar

Sanal sayı birimi

Gerçek sayı olmayan ve karesi -1 e eşit olan -1 sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. i = -1 ve i2 = -1 olur.
-4 = (-1).4 = i2.22 = 2i olur.

Sanal sayı biriminin kuvvetleri

  • n , k ∈ Z olmak üzere
  • n = 4k ise in = 1 ( Yani n 4 ile bölünebiliyorsa sonuç 1 olur.)
  • n = 4k + 1 ise in = i ( n nin 4 ile bölümünde kalan 1 ise sonuç i olur.)
  • n = 4k + 2 ise in = -1 ( n nin 4 ile bölümünde kalan 2 ise sonuç -1 olur.)
  • n = 4k + 3 ise in = -i ( n nin 4 ile bölümünde kalan 3 ise sonuç -i olur.)

Karmaşık sayı

a,b ∈ R ve i sanal sayı birimi olmak üzere
z = a + ib şeklindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
a sayısına karmaşık sayının gerçek kısmı denir ve Re(z) = a şeklinde gösterilir.
b sayısına karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve Im(z) = b şeklinde gösterilir.

Bütün gerçek sayılar aynı zamanda karmaşık sayıdır.

İki karmaşık sayı eşit ise sayıların gerçek ve sanal kısımları birbirine eşittir.
z1 = 3 - xi , z2 = y + 7i olduğuna göre x + y kaçtır?
y = 3 ve -x = 7 den x = -7 olur.
(-7) + 3 ile cevap -4 olur.

a,b ∈ R ve i sanal sayı birimi olmak üzere z = a + ib karmaşık sayısı verildiğinde a + i(-b) sayısına z sayısının eşleniği denir ve z ile gösterilir.z = a - ib olur.

Karmaşık sayılarda işlemler

a) Toplama çıkarma işlemleri
Karmaşık sayılarla toplama çıkarmada gerçek kısımlar gerçek kısımlarla , sanal kısımlar da sanal kısımlarla toplanır veya çıkarılır.

i2 = -1 olmak üzere z1 = 4 + 9i ve z2 = 2 + 3i ise z1 + z2 ve z1 - z2 sonucu nedir? (4+2) + i(9+3) ile z1 + z2 = 6 + 12i olur.
(4-2) + i(9-3) ile z1 - z2 = 2 + 6i olur.

b) Çarpma işlemi
Karmaşık sayılarda çarpma işleminde çarpmanın toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği kullanılır.

  • a,b,c,d ∈ R ve i sanal sayı birimi olmak üzere z1 = a + ib ve z2 = c + id ise
  • (a + ib).(c + id)
  • a.c + a.id + ib.c + ib.id
  • a.c + (a.d + b.c)i + i2(b.d)
  • (a.c - b.d) + (a.d + b.c)i olur.

c)Bölme işlemi
a,b,c,d ∈ R ve i sanal sayı birimi olmak üzere z1 = a + ib ve z2 = c + id ise
z1 z2 , z2 ≠ 0 işlemi kesrin z2 karmaşık sayısı kullanılarak genişletilmesi ile yapılır.
(a+ib)(c+id) = (a+ib).(c-id)(c+id).(c-id) = (ac+bd)+i(bc-ad) c2 - d2 olur.

Karmaşık sayılarda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümü

a2 + bx + c = 0 denkleminde ∆ = b2 - 4ac < 0 ise denklemin karmaşık sayılara kümesinde çözümü vardır.Denklemin kökleri x1 = -b + ∆2a veya x2 = -b - ∆2a olur.

x2 + x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

  • a = 1 , b = 1 ve c = 2 olduğundan ∆ = 1 - 4.1.2 den ∆ = -7 olur.
  • x1 = -1+ -72.1 = -1+ i 72
  • x2 = -1- -72.1 = -1- i 72