8. sınıf doğrusal denklemler

Aşağıda örnekler gerçek değildir.Anlatım kolaylığı için gerçekmiş gibi cümleler kullanılmıştır.

Doğrusal ilişki

Bir değişkenin değeri değiştiğinde diğer değişkeninde değeri doğru orantılı şekilde değişiyorsa,yani değişim öncesi oranlarla,değişim sonrası oranlar eşit ise bu iki değişken arasında doğrusal ilişki vardır.Örnekler

  1. örnek okulda her öğrenciye 6 kitap veriliyorsa öğrenci sayısı ile verilen kitap sayısı değişkenleri arasında doğrusal ilişki vardır.
  2. örnek bir öğrencinin çözdüğü her soru için babasından 10 kuruş almasında çözdüğü soru ile babasından aldığı para değişkenleri arasında doğrusal ilişki vardır.
  3. örnek yol aldığı kilometrede 20 kuruşluk benzin tüketen bir arabanın aldığı yol ile tükettiği benzinin değeri değişkenleri arasında doğrusal ilişki vardır.

Doğrusal ilişki olan değişkenlerde diğer değişkene göre değişen değişken bağımlı değişken , diğer değişkenin değerinden etkilenmeyen değişken ise bağımsız değişkendir.Örnekler

  1. örnek öğrenci-kitap örneğinde öğrenci sayısı bağımsız değişken , kitap sayısı ise bağımlı değişkendir.Öğrenci olursa kitap verilir ama kitap verilmese de öğrenci olabilir.
  2. örnek çözülen soru-alınan para örneğinde çözülen soru bağımsız değişken,alınan para ise bağımlı değişkendir.Soru çözülürse , para alınabilir.Ama para alınmadan da soru çözülebilir.
  3. örnek alınan yol,tüketilen benzin değerinde alınan yol bağımlı , tüketilen benzin değeri bağımsızdır.Yol alabilmek için benzin gereklidir,benzin tüketmek için yol almak gerekli değilidir motor çalışırken de benzin tüketilir.

Doğrusal ilişkilerin tablo ile gösterimi

Öğrenci sayısı (ö) Kitap sayısı (k) İlişki Sıralı ikili
0 0 Öğrenci yok kitap yok (0,0)
1 6 6'nın 1 katı (1,6)
2 12 6'nın 2 katı (2,12)
3 18 6'nın 3 katı (3,18)
... ... ... ...
ö k = 6ö 6'nın ö katı ...
Alınan yol (y) Tüketilen benzin değeri (d) İlişki Sıralı ikili
0 0 Yol alınmadı,benzin tükenmedi (0,0)
1 20 20'nin 1 katı (1,20)
2 40 20'nin 2 katı (2,40)
3 60 20'nin 3 katı (3,60)
... ... ... ...
y s = 20y 20'nin y katı ...

Tablolarda öğrenci-verilen kitap ve alınan yola-tüketilen benzin değeri ilişkilerinin tabloları bulunmaktadır.Bağımsız değişkenkler 0'dan başlayarak birer birer arttığında bağımlı değişkenlerin değerleri tablodan görülebilir.Değişkenlerin aralarındaki ilişki her satırda mevcuttur.Bu ilişkilere göre kurulacak denklemler tabloda kırmızı renkli olarak belirtilmiştir.Denklemde bir durumdaki değişken değerinde diğerinin alacağı değeri hesaplabiliriz.Örnek olarak okulda 500 öğrenci varsa verilen kitap sayısı 6.500 işlemi ile 3000 olarak hesaplanır.Araba ile 1000 km yol alındı ise tüketilen benzin değeri 20.1000 ile 20 000 kuruş olarak hesaplanır.

Doğrusal denklemler

Aralarında doğrusal ilişki olan değişkenler arasında doğrusal denklem kurulur.Bir doğrusal denklem ax+by+c=0 şeklinde iki değiken ve bir sabit sayıdan oluşur.

Not:Çarpma işleminde 0 yutan elemandır yani çarpanlardan bir tanesi 0 ise sonuç daima 0 olur.Toplama işleminde 0 , çarpma işleminde 1 etkisiz eleman olduğundan ihmal edilebilir,gösterilmeyebilir.

y x 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x=3y+2 göster Yeşil doğru y=2x+4 göster Mavi doğru -3x=2y göster Kırmızı doğru y=-4 göster Sarı doğru x=-4 göster Turuncu doğru Hepsini sil

Bir doğru çizebilmek için doğru üzerindeki herhangi 2 noktanın bilinmesi yeterlidir.Bir doğrusal deklemin grafiğini çizmek ( koordinata sisteminde göstermek ) için bir değişkenin değerinin 0 olduğunda diğer değişkenin değeri hesaplanır.Aynı şekilde diğer değişken 0 iken ilk değişken değeri hesaplanır ve bunlar koordinat sisteminde işaretlenir.Daha sonra bu iki noktadan geçecek bir doğru çizilir.Bu doğru denklemin grafiğidir.

  1. örnek x = 3y+2 denklemi bir doğrusal denklemdir.ax+by+c=0 şeklinde yazılmamıştır ama eşitliğin iki tarafından x çıkarılırsa eşitlik bu şekilde olur.Bu doğrusal denklemde
    - y=0 iken denklemde y yerine 0 koyarız x=3.0+2 ve x=2 olarak buluruz.İlk noktamız (2,0) sıralı ikisidir.
    - x=0 iken denklemde x yerine 0 koyarız 0=3y+2 denklemini çözdüğümüzde y=2/3 olarak buluruz.İkinci noktamız (0,2/3) sıralı ikisidir.
    Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru x=3y+2 doğrusal dnkleminin grafiği olur.Şekildeki x=3y+2 göster'i tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.
  2. örnek y=2x+4 denklemi bir doğrusal denklemdir.Bu doğrusal denklemde
    - y=0 iken denklemde y yerine 0 koyarız 0=2x+4 denklemini çözdüğümüzde x=-2 olarak buluruz.İlk noktamız (-2,0) sıralı ikisidir.
    - x=0 iken denklemde x yerine 0 koyarız y=2.0+4 işlemi yapıldığında y=4 olarak buluruz.İkinci noktamız (0,4) sıralı ikisidir.
    Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru y=2x+4 doğrusal dnkleminin grafiği olur.Şekildeki y=2x+4 göster'i tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.
  3. örnek -3x=2y doğrusal denkleminde
    - y=0 iken denklemde y yerine 0 koyarız -3x=2.0 olur.Bu denklemini çözdüğümüzde x=0 olarak buluruz.İlk noktamız (0,0) sıralı ikisidir.Bu nokta orijindir ve bu doğru orijinden geçen bir doğru olacaktır.Buradan denklemde sabit değer yoksa doğru orijinden geçer sonucunu çıkarabiliriz.
    - y=3 iken denklemde y yerine 3 koyarız -3x=2.3 denklemini çözdüğümüzde x=-2 olarak buluruz.İkinci noktamız (-2,0) sıralı ikisidir.
    Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru -3x=2y doğrusal dnkleminin grafiği olur.Şekildeki -3x=2y göster'i tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.
  4. örnek y=-4 denklemide doğrusal bir denklemdir.x'in katsayı 0 olur ve çarpım sonucu 0 toplamada etkisiz eleman olduğunda gösterilmez.Bu durumda x'in her değeri için y=-4 olacaktır.Örnek olarak x=-2 olursa sıralı ikili (-2,-4) , x=2 olursa sıralı ikili (2,-4) olur.Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru y=-4 doğrusal denkleminin grafiği olur.Şekildeki y=-4 göster'i tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.
  5. örnek x=-4 denklemide doğrusal bir denklemdir.Bu durumda y'nin her değeri için x=-4 olacaktır.Örnek olarak y=-2 olursa sıralı ikili (-4,-2) , y=2 olursa sıralı ikili (-4,2) olur.Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru x=-4 doğrusal denkleminin grafiği olur.Şekildeki x=-4 göster'i tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.

Babası oğlu Hasan'a hergün 5 TL vermektedir.Bunun dışında her çözdüğü soru için babası 2 TL vermektedir.Hasan'ın günlük çözdüğü soru ile babasından aldığı para arasındaki doğrusal ilişki için aşağıdaki tabloyu yapabiliriz.

Çözdüğü soru (s) Aldığı para (a) İlişki Sıralı ikili
0 0 5 (0,5)
1 2 1'nin 2 katının 5 fazlası (1,7)
2 4 2'nin 2 katının 5 fazlası (2,9)
3 2 3'ün 2 katının 5 fazlası (3,11)
... ... ... ...
s a = 2s+5 s'nin 2 katının 5 fazlası ...

a cebindeki para s soru sayısı 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -10 -15 -20 5 10 15 20

Yandaki şekilde a=2s+5 doğrusal denkleminin grafiği bulunmaktadır.Bir doğrusal denklem grafiği çizebilmek için iki noktanın tespiti yeterlidir. İlk nokta için soru sayısı yerine 0 yazılır a=2.0+5 işleminden a=5 olur ve (0,5) sıralı ikilisi bulunur.( Soru sayısı negatif sayı olamaz o yüzden en küçük olan 0 ile başladık).Anlamı Hasan soru çözmese de babasından 5 TL alır.
İkinci nokta için herhangi bir soru sayısı belirleyebiliriz.Grafikte ikinci nokta tespiti için soru sayısı 3 alınmıştır.Bu durumda a=2.3+5 işleminden a=11 olur ve (3,11) sıralı ikilisi bulunur.( Yani Hasan 3 soru çözerse babasından 11 TL alır.)
Bu iki nokta birleştirilirse a=2s+5 denkleminin grafiği çizilmiş olur.

Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları