Üslü ifadeler ve denklemler

Üslü ifade içeren denklemler

  • a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere an ifadesine üslü ifadeler denir.
  • an , a nın n. kuvveti diye okunur.
  • an = a.a.a. .... a ( n tane a nın çarpımı)
  • an da, a ya taban , n ye üs (kuvvet) denir.

a ∈ T - {0} ve n ∈ Z+ olmak üzere;

  • a0 = 1
  • 00 belirsizdir.
  • a1 = a
  • an = 1 a-n
  • 1 an = a-n
  • a ∈ R- ve n ∈ Z olmak üzere
    • n tek ise an < 0
    • n çift ise an > 0
  • Hem tabanı hem üssü aynı olan üslü sayılar ortak paranteze alınarak toplanır veya çıkarılabilir.
    a,b,c,x ∈ R ve n ∈ Z olmak üzere
    axn + bxn - cxn = ( a + b - c )xn
  • Üslü sayılarla çarpma işleminde
    • Tabanlar aynı , üsler farklı ise üsler toplanır.
      x ∈ R ve a,b ∈ Z+ olmak üzere
      xa . xb = xa+b
    • Tabanlar farklı , üsler aynı ise tabanlar çarpılır.
      x,y ∈ R ve a,b ∈ Z+ olmak üzere
      xa . ya = (x.y)a
  • Üslü sayılarla bölme işleminde
    • Tabanlar aynı , üsler farklı ise üsler çıkarılır.
      x ∈ R ve , a ve b ∈ Z+ ve x ≠ 0 olmak üzere
      xa xb = xa-b
    • Tabanlar farklı , üsler aynı ise tabanlar bölünür.
      x,y ∈ R , a,b ∈ Z+ ve y ≠ 0 olmak üzere
      xa ya = (xy)a
  • x,y ∈ R ve m,n ∈ Z+ olmak üzere
    • (xn)m = xn.m ( n ile m nin çarpımı )
    • (xy)n = xn yn = xn.y-n ( x ≠ 0 ve y ≠ 0)

İçerisinde bilinmeyeni üs olarak bulunduran denklemlere üslü denklemler denir.

  • a ∉ {-1,0,1} ve x,y ∈ R - {0} olmak üzere
    ax = ay ise x = y olur.
  • a ∉ {-1,0,1} ve x ∈ Z - {0} olmak üzere ax = bx denklemimnde
    • x tek ise a = b
    • x çift ise |a| = |b| olur.
  • ax = 1 denklemimnde
    • a ≠ 0 ve x = 0 olur.
    • a = 1 ve x ∈ R olur.
    • a = -1 ve x bir çift tam sayıdır.

Köklü ifade içeren denklemler

  • n ∈ Z+ be n ≥ 2 olmak üzere xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n. dereceden (kuvveten) kökü denir.
  • xn = a ise
    • n tek ise n√a
    • a ≥ 0 ve n çift ise ∓n√a
  • 2√a ifadesi √a şeklinde yazılır ve karekök a olarak okunur.
  • 3√a ifadesi küpkök a olarak okunur.
  • n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere her x ∈ R için
    • n tek ise n√an = x
    • n çift ise n√an = |x|
  • Köklü bir ifade rasyonel üslü olarak yazılabilir.x ∈ R+ , m,n ∈ Z ve n ≥ 2 olmak üzere
    n√xm = xmn dir.
  • Kök dereceleri eşit olan köklü ifadeler çarpılırken kök içleri aynı kökün içinde çarpılır.
    x,y ∈ R+ , n ∈ N+ ve n ≥ 2 için
    n√x . n√y = nx.y
  • Kök dereceleri eşit olan köklü ifadeler bölünürken kök içleri aynı kökün içinde bölünür.
    x,y ∈ R+ , n ∈ N+ ve n ≥ 2 için
    xynn=xyn olur.
  • x ∈ R+ , m,n ∈ Z+ ve n ≥ 2 için
    (n√x)m = n√xm olur.
  • Bir köklü ifadenin kök derecesi ve kökün içindeki ifadenin üssü aynı pozitif tam sayı ile genişletilebilir veya sadeleşevilir.
    • x ∈ R+ , m ∈ Z , n,k ∈ Z+ ve n ≥ 2 için
      n√xm = n.k√xm.k = nn√xmk
    • x ∈ R+ , n ∈ Z ve n ≥ 2 için
      n√xny = xn√y olur.
  • x ∈ R+ , m,n ∈ Z,m ≥ 2 ve n ≥ 2 olmak üzere
    nm√x = n.m√x ( kök derecesi n ile m çarpımı olur.)
  • x ∈ R+ , a,b,c ∈ R , n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere
    a.n√x + b.n√x - c.n√x = (a + b - c).n√x olur.
  • Çarpımları rasyonel sayı olan iki gerçek sayıdan her birine birbirinin eşleniği denir
    • n√x + n√y nin eşleniği n√x - n√y
    • x + n√y nin eşleniği x - n√y
    • n√xm nin eşleniği n√xn-m
  • a,b ∈ R+ olmak üzere
    • (√a ∓ √b)2 = (a + b ∓ 2a.b)
    • ( a ∓ b )2 = a + b ∓ 2 ab
    • |√a ∓ √b| = a + b ∓ 2 ab
    şeklindeki köklü ifadelere tam kare köklü ifadeler denir.
Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları